Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直線的參數(shù)方程為：

x=1- 3 t y=t

（為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線上有一定點(diǎn)P（1，0），曲線C₁與l交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可求出；
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入曲線C₁的方程，根據(jù)t的幾何意義即可求出．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，
∴5ρ²-3ρ²（cos²θ-sin²θ）-8=0，
∴5ρ²-3ρ²cos²θ-3ρ²sin²θ-8=0，化為普通方程5x²+5y²-3x²+3y²-8=0，
整理為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程

x=1- 3 t y=t

代入曲線C₁的方程化為7t2-2

3

t-3=0，
∴t1t2=-

3

7

．
由t的幾何意義可知：|PM||PN|=4|t₁t₂|=

12

7

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和正確理解直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．