Question

【題目】已知定點(diǎn)，圓，過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)，

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若是曲線上不重合的四個點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得,則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，求出的值，可得點(diǎn)的軌跡方程；

（2）由知， 且，

①當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時，

②當(dāng)直線的斜率為時,其方程為: ，聯(lián)立直線與橢圓，可得，的值，可用來表示，同理可得，故可用來表示，令，利用函數(shù)的性質(zhì)可其取值范圍,綜合可得答案.

解：（1）由題意可得：圓，，可得,

如圖：，

易得：,可得，

,

則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.其中

故點(diǎn)的軌跡方程為；

（2）由知， 且

①當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時，

②當(dāng)直線的斜率為時,其方程為:

由得：，設(shè)

則

同理可得：，所以

令

綜上，的取值范圍