Question

已知關于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）當m為何值時，方程C表示圓．
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點，且|MN|=

4 5

5

，求m的值．
（3）在（2）條件下，是否存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為

5

5

，若存在，求出c的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0變為（x-1）²+（y-2）²=5-m．當5-m＞0表示圓，解出即可．
（2）利用點到直線的距離可得：圓心（1，2）到直線l的距離d，利用(

|MN|

2

)2+d2=r2．即可解得m．
（3）如圖所示，圓心（1，2）到直線l的距離d=

|c-3|

5

，假設存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為

5

5

，必須滿足1-

|c-3|

5

＞

5

5

，解出即可．

解答：解：（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0變為（x-1）²+（y-2）²=5-m．
當5-m＞0即m＜5時，方程C表示圓．
（2）圓心（1，2）到直線l的距離d=

|1+4-4|

5

=

1

5

，
∵弦長|MN|=

4 5

5

，∴(

|MN|

2

)2+d2=r2．∴(

2 5

5

)2+(

1

5

)2=5-m，解得m=4．
故m=4．
（3）如圖所示，圓心（1，2）到直線l的距離d=

|1-4+c|

5

=

|c-3|

5

，
假設存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為

5

5

，
必須1-

|c-3|

5

＞

5

5

，化為|c-3|＜

5

-1，∴1-

5

＜c-3＜

5

-1，
解得4-

5

＜c＜2+

5

．
因此存在c∈(4-

5

，2+

5

)，滿足條件．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系、弦長公式、勾股定理等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．