Question

已知函數 y =" f" (x) 是定義在R上的增函數，函數 y =" f" (x-1) 的圖象關于點 (1, 0)對稱. 若對任意的 x, y∈R，不等式 f (x²-6x + 21) + f (y²-8y) < 0 恒成立，則當 x > 3 時，x² + y²的取值范圍是

1. A.
   (3, 7)
2. B.
   (9, 25)
3. C.
   (13, 49)
4. D.
   (9, 49)

Answer 1

C
解：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
即函數y=f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），
又∵f（x）是定義在R上的增函數且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
設M （x，y），則當x＞3時，M表示以（3，4）為圓心2為半徑的右半圓內的任意一點，
則d=表示區域內的點和原點的距離．
由下圖可知：d的最小值是OA=
OB=OC+CB，5+2=7，
當x＞3時，x²+y²的范圍為（13，49）
故答案為：（13，49）