Question

已知，如圖：四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，
（1）求證：直線MN⊥直線AB；
（2）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角大小為θ，能否確定θ使直線MN是異面直線AB與PC的公垂線，若能確定，求出θ的值，若不能確定，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意連接AN、BN、AC，由PA⊥面ABCD和三垂線定理得PA⊥AC、PB⊥BC，根據M、N是中點得AN=BN和MN⊥AB；
（2）假設MN是異面直線AB與PC的公垂線，得到MN⊥PC，由N是中點得CM=PM，證出△BCM≌△APM得DA=PA，根據二面角的定義和垂直關系證出∠PDA=θ，即求出此角的值．

解答：解：（1）證明：連接AN、BN、AC，
∵PA⊥面ABCD，且AC?面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵N是PC的中點，
∴AN=

1

2

PC，
∵BC⊥AB，
∴由三垂線定理得PB⊥BC，得BN=

1

2

PC，
∴AN=BN，，∴MN⊥AB．

（2）解：假設MN是異面直線AB與PC的公垂線，則MN⊥PC，
連接CM、PM，由于N是PC的中點，∴CM=PM
∴△BCM≌△APM，∴BC=PA，∴DA=PA，
∵PA⊥面ABCD，平面ABCD是矩形，∴CD⊥面PAD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA為面PDC與面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PDA=θ，
∴當θ=

π

4

時，MN為異面直線AB與PC的公垂線．

點評：本題是關于線線（線面）垂直和二面角的綜合題，主要利用等腰三角形和底邊的中點和線面垂直的定義證出線線垂直，實現線線、線面垂直的相互轉化，考查了推理論證和邏輯思維能力．