Question

(汕頭聯考模擬)已知定義在R上的單調函數y=f(x)，當x＜0時f(x)＞1，且對任意的實數x、yR，有f(x＋y)=f(x)f(y)．

(1)求f(0)，并寫出適合條件的函數f(x)的一個解析式；

(2)數列滿足且，

①求通項公式的表達式；

②令，，，試比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由題意，令y=0，x＜0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x＜0時，f(x)＞1． ∴1－f(0)=0．f(0)=1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分) 適合題意的f(x)的一個解析式為．　　　　　　　　　(4分) (2)①由遞推關系知，即． ∵f(x)在R上單調， ∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分) 又，故．　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) ②， ． ，　　　　(9分) 欲比較與的大小，只需比較與2n＋1的大小． 由n=1，2，3代入可知，猜想．　　　　　　(10分) 下用數學歸納法證明 (ⅰ)當n=1時，成立； (ⅱ)假設當n=k時命題成立，即． 當n=k＋1時，，說明當n=k＋1時命題也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，對于都成立．故．　　(12分)