Question

6．在直角坐標系xOy中，橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，若以直角坐標系的原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線E的極坐標方程為ρ²-8ρsinθ+15=0．
（1）求曲線E的普通方程和橢圓C的參數方程；
（2）已知A，B分別為兩曲線上的動點，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲線E的普通方程，根據cos²θ+sin²θ=1，求出橢圓C的參數方程即可；
（2）表示出AB的最大值，結合三角函數的性質求出其最大值即可．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ得：
x²+y²-8y+15=0，即x²+（y-4）²=1，
橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
化為參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$為參數）．
（2）${|{AB}|_{max}}={|{AE}|_{max}}+1=\sqrt{4{{cos}^2}θ+{{（{4-sinθ}）}^2}}+1=\sqrt{-3{{sin}^2}θ-8sinθ+20}+1$，
由sinθ∈[-1，1]，當sinθ=-1時，|AB|_max=6．

點評 本題考查了參數方程和普通方程以及極坐標方程的關系，考查三角函數的性質，是一道中檔題．