Question

已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍．
（2）在（1）的結論下，設g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數g（x）的最小值；
（3）設各項為正的數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析：（1）令導函數大于等于0恒成立，分離參數b，構造函數，利用基本不等式求出函數的最小值，令b小于等于最小值即可．
（2）令t=e^x，將g（x）轉化為二次函數，通過對二次函數的對稱軸與區間的位置關系的討論，求出g（x）的最小值．
（3）先求出輸數列的前三項的值，歸納出大于等于0，利用數學歸納法證得成立，構造函數F（x），利用導數求出F（x）的最值，得到lna_n≤a_n-1，得證．

解答：解：（1）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）遞增
∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立
∴b≤

1

x

+2x
∵x＞0
∴

1

x

+2x≥2

2

當且僅當x=

2

2

時取“=”，
∴b≤2

2

，
且當b=2

2

時，x∈(0，

2

2

)，f′(x)＞0，f′(

2

2

)=0，x∈(

2

2

，+∞)，f′(x)＞0
∴符合f（x）在（0，+∞）是增函數∴b∈(-∞，2

2

]
（2）設t=e^x，
∵x∈[0，ln2]
∴1≤t≤2，
則函數g（x）化為：y=t2+bt=(t+

b

2

)2-

b2

2

，t∈[1，2]
①當-

b

2

≤1時，即-2≤b≤2

2

時．y在[1，2]遞增∴當t=1時，y_min=b+1
②當1＜-

b

2

＜2時，即-4＜b＜-2，當t=-

b

2

，ymin=-

b2

4

③當-

b

2

≥2，即b≤-4時，y在[1，2]遞減，當t=2時，y_min=4+2b
綜上：g(x)min=

4+2b  &b≤-4 - b2 4  &-4＜b＜-2 1+b  &-2≤b≤2 2

（3）∵a₁=1，a₂=ln1+1+2=3＞1，a₃=ln3+3+2＞1
假設a_k≥1（n≥1），則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，∴a_n≥1成立
設F（x）=lnx-x+1，（x≥1），則F′(x)=

1

x

-1＜0
∴F（x）在[1，+∞]單調遞減，∴F（x）≤F（1）=0，∴lnx≤x-1
∴lna_n≤a_n-1，故a_n+1≤2a_n+1，∴a_n+1+1≤2（a_n+1）a_n+1+1≤2（a_n+1）≤2²（a_n-1+1）≤≤2ⁿ（a₁+1）=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1≤2ⁿ?a_n≤2ⁿ-1

點評：解決函數在區間上單調常轉化為導函數大于等于0或小于等于0恒成立；證明不等式常通過構造函數，利用導數求函數的最值證得．