Question

【題目】已知函數，其中e是自然對數的底數

（1）若，求的最小值；

（2）記f（x）的圖象在處的切線的縱截距為，求的極值；

（3）若有2個零點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）2（2）極大值1，無極小值．（3）見解析

【解析】

(1)利用基本不等式求解即可.

(2)利用導數的幾何意義可得的圖象在處的切線方程,進而求得截距,再求導分析單調性與極值即可.

(3)討論單調性可得,再設,再根據零點可知,,繼而化簡可得,.將原不等式轉換為證明,再構造函數求導分析單調性與最小值證明即可.

（1）因為,

當且僅當時等號成立,所以的最小值為2.

（2）因為,所以.

因為,

所以的圖象在處的切線方程為

.

令,得,

所以,

所以當時,,故單調遞增;

當時,.故單調遞減.

所以當時,h（t）取到極大值,為1,無極小值.

（3）因為,

所以當時,,故單調遞增,

所以至多有1個零點,故.

因為,

所以,故.

因為,所以.

設.

因為,,

兩式相除得,

所以,

解得,.

要證,

即證,

即證,

即證.

設,

則

故單調遞增,

所以,

因此原命題得證.