Question

在△ABC中，已知角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a=2，∠A=

π

4

，設(shè)∠C=θ．
（I）用θ表示b；
（II）若sinθ=

4

5

，且θ∈(

π

2

，π)，求

CA

•

CB

的值．

Answer 1

分析：（I）在△ABC中 由a=2，∠A=

π

4

，∠B=

3π

4

-θ考慮利用正弦定理得，

a

sin π 4

=

b

sinB

 可求；
（II）由sinθ=

4

5

，θ∈(

π

2

，π) 可得cosθ及sin（

3π

4

-θ)=sin

3π

4

cosθ-sinθcos

3π

4

=

2

10

的值，然后代入向量數(shù)量積的定

CA

•

CB

=|

CA

||

CB

|cosθ
可求．

解答：解：（I）在△ABC中，a=2，∠A=

π

4

，∠B=

3π

4

-θ
由正弦定理得，

a

sin π 4

=

b

sinB

 即

2

2 2

=

b

sin( 3π 4 -θ)

所以 b=2

2

sin(

3π

4

-θ)
（II）由（I）得

CA

•

CB

=|

CA

|•|CB| •cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ，
因為sinθ=

4

5

，θ∈(

π

2

，π)，所以cosθ=-

3

5

又sin（

3π

4

-θ)=sin

3π

4

cosθ-sinθcos

3π

4

=

2

10

=sin

3π

4

cosθ-sinθcos 

3π

4

=

2

10

所以，

CA

•

CB

=4

2

×

2

10

×(-

3

5

)=-

12

25

點評：本題主要考查了正弦定理解三角形，向量的數(shù)量積，兩角差的正弦公式等知識的簡單運用，屬于中檔題目，有一定的綜合性，但難度不大．