Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中點，作EF⊥PB交PB于F

(1)求證：PA∥平面EDB；

(2)求證：PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小。

 

Answer 1

【答案】

設AC、BD相交于點O，連接OE、BE、DF。

（1）明顯可知，PA在平面EDB外，E是PC中點，O是正方形ABCD中點，所以OE是三角形APC中位線，所以有EO//PA。所以PA//平面EDB。

（2）由條件可知，BC垂直于CD，側棱PD⊥底面ABCD，所以，PD⊥BC，PD/CD相交于點D，所以BC⊥平面PCD。因為PD=CD，E是PC中點，所以DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC，所以DE⊥PB，又因為EF⊥PB，且DE和EF相交，所以PB⊥平面EFD

（2）以DA,DC，DP為ｘ，ｙ，ｚ軸建立空間直角坐標系，設底面正方形的邊長為１，易知為平面CBD的法向量，為平面PBD的法向量，＝，，，二面角C-PB-D的大小為，

【解析】（1）設AC、BD相交于點O，連接OE，證明線線平行EO//PA，得到線面平行；(2)證明PB垂直平面內兩條相交直線；（3向量法計算