Question

已知函數f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n為實數）．
（1）若x=1是函數y=g（x）的一個極值點，求m與n的關系式；
（2）在（1）的條件下，求函數g（x）的單調遞增區間；
（3）若關于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集為P，且（0，+∞）⊆P，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數極值的定義，先求函數g（x）=x³+mx²-nx的導函數，由

g′(1)=0 △＞0

可得m與n的關系式
（2）在（1）的條件下g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，解不等式g'（x）＞0，即可得函數g（x）的單調遞增區間，但需要比較根1與-1-

2m

3

的大小，因此需討論后得結果
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，參變分離后可轉化為m≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在x∈（0，+∞）上恒成立，從而只需求y=lnx-

3

2

x-

1

2x

的最大值即可，利用導數判斷其單調性可得結果

解答：解：（1）g'（x）=3x²+2mx-n，
由題意得

g′(1)=0 4m2+12n＞0

，∴n=2m+3（m≠-3）．
（2）由（1）知：g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g'（x）=0，得x1=1，x2=-1-

2m

3

(m≠-3)
①當1＞-1-

2m

3

，即m＞-3時，由g'（x）＞0得x＜-1-

2m

3

或x＞1，
∴g（x）的單調遞增區間是(-∞，-1-

2m

3

)，(1，+∞)；  
②當1＜-1-

2m

3

，即m＜-3時，由g'（x）＞0得x＜1或x＞-1-

2m

3

，
∴g（x）的單調遞增區間是(-∞，1)，(-1-

2m

3

，+∞)．
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x²+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得m≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在x∈（0，+∞）上恒成立，
設h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，
則h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
令h'（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），
∵當0＜x＜1時，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上單調遞增；
當x＞1時，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范圍是[-2，+∞）

點評：本題綜合考查了導數在函數極值、單調性、最值中的應用，解題時要認真體會導數在研究函數性質方面的積極作用，規范解題，還要注意運算技巧和分類討論