Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=log2x，g（x）=2log2（2x+a），a∈R
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若對任意x∈[1，4]，f（4x）≤g（x），求實數a的取值范圍；
（3）設a＞﹣2，求函數h（x）=g（x）﹣f（x），x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：若x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=log2（﹣x），

∵f（x）是奇函數，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），

又f（0）=0，

∴f（x）=

（2）解：由f（4x）≤g（x）得log2（4x）≤2log2（2x+a），

∴（2x+a）2≥4x，

∵2x+a＞0，x＞0，

即2x+a≥2 ，∴a≥2 ﹣2x，

設 =t，則t∈[1，2]，令p（t）=2t﹣2t2，

則p（t）在[1，2]上單調遞減，

∴﹣4≤p（t）≤0．

∴a≥0．

（3）解：h（x）=g（x）﹣f（x）=2log2（2x+a）﹣log2x=log2 ，

令q（x）= =4x+ +4a，

令q′（x）=0得x= ，

①若 ≤1即﹣2＜a≤2時，q（x）在[1，2]上單調遞增，

∴q（x）的最小值為q（1）=a2+4a+4=（a+2）2，

∴h（x）的最小值為log2（a+2）2=2log2（a+2）；

②若 ≥2即a≥4時，q（x）在[1，2]上單調遞減，

∴q（x）的最小值為q（2）=8+ +4a= （a+4）2，

∴h（x）的最小值為log2[ （a+4）2]=﹣1+2log2（a+4）；

③若1＜ ＜2即2＜a＜4時，q（x）在[1，2]上先減后增，

∴q（x）的最小值為q（ ）=8a，

∴h（x）的最小值為log2（8a）=3+log2a．

綜上：當﹣2＜a≤2時，h（x）的最小值為2log2（a+2）；

當2＜a＜4時，h（x）的最小值為3+log2a；

當a≥4時，h（x）的最小值為﹣1+2log2（a+4）

【解析】（1）利用奇函數的性質求出f（x）在（﹣∞，0）上的解析式，再結合f（0）=0得出f（x）在定義域上的解析式；（2）分離參數可得a≥2 ﹣2x，利用換元法求出右側函數的最大值即可得出a的范圍；（3）討論a的范圍，判斷h（x）的單調性，從而可得h（x）的最小值．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．