Question

【題目】如圖所示，在多面體中，四邊形為平行四邊形，平面平面，，，，，,，點是棱上的動點.

（Ⅰ）當時，求證平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角所成角的余弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）通過平行四邊形證得，從而根據線面平行的判定定理證得結果；（Ⅱ）通過作，可滿足空間直角坐標系建立的條件，從而建立坐標系，利用直線與平面所成角的向量求法求得結果；（Ⅲ）根據向量共線的性質用表示出點坐標；利用二面角的向量求法建立方程，求得的值，根據與的長度關系確定最終結果.

（Ⅰ）由已知得且， 則四邊形為平行四邊形

四邊形為平行四邊形

又平面，平面 平面

（Ⅱ）過點作交于點， 過點作交于點

平面平面，平面平面，平面

平面

以為原點建立如圖的空間直角坐標系

則，，，，，

設平面的法向量為，，

，即

令 ，

又

直線與平面所成角的正弦值為

（Ⅲ），

設平面的法向量為，，

，即，令 ，

又可取平面的法向量

解得