Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸的非負半軸上，點到短
軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點距離的最大值是6.
(1)求橢圓的標準方程和離心率；
(2)若為焦點關于直線的對稱點，動點滿足，問是否存在一個定點，使到點的距離為定值？若存在，求出點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) 橢圓的標準方程為. 離心率  
(2)存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及軌跡方程的求解來判定點是否存在。
（1）根據已知中橢圓的幾何性質得關于參數a，b，c的關系式，進而解得。
（2）利用比值為定值，設出點的坐標，然后利用M的軌跡方程求解得到結論。
解：(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得
.
所以橢圓的標準方程為.……………………6分
離心率…………………………7分
(2),設由得
……………………10分
化簡得，即……………………12分
故存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為………13分