Question

如圖，直線AB與橢圓：（a＞b＞0）交于A，B兩點，與x軸和y軸分別交于點P和點Q，點C是點A關于x軸的對稱點，直線BC與x軸交于點R．
（1）若點P為（6，0），點Q為（0，3），點A，B恰好是線段QP的兩個三等分點．
①求橢圓的方程；
②過坐標原點O引△ABC外接圓的切線，求切線長；
（2）當橢圓給定時，試探究OP•OR是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①利用，點B為A、P中點，可得點A、B的坐標，代入橢圓方程，求得幾何量，從而可求橢圓的方程；
②確定線段AB的中垂線方程，求得△ABC外接圓的圓心與半徑，從而可求切線長；
（2）確定直線BC的方程，求得R的坐標，同理可求P的坐標，表示出OP•OQ，利用P、Q再橢圓上，即可求得結論．
解答：解：（1）①設點A（x，y），由題意知，則有（6，-3）=3（x，y-3），
解得x=2，y=2，即A（2，2），又點B為A、P中點，可得點B（4，1）…（2分）
∴，解得：a²=20，b²=5，∴橢圓的方程為…（5分）
②由點A（2，2），B（4，1）可求得線段AB的中垂線方程為y=2x-，令y=0，得x=．
設△ABC外接圓的圓心為M，半徑為r，可知M（，0），r=AM=…（7分）
∴切線長為…（9分）
（2）設點B（x，y），A（x₁，y₁），則C（x₁，-y₁）．
所以直線BC的方程為y-y=（x-x），
令y=0，得，即點R（，0），
同理P（，0）…（13分）
∴OP•OQ=||||=，
又∵，∴①×-②×，兩式相減得，
即，
∴當橢圓給定時，OP•OR為定值a²…（16分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查點差法的運用，屬于中檔題．