Question

【題目】已知函數.

（1）若，且，求證：；

（2）若時，恒有，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）利用導數分析函數的單調性，并設，則，，將不等式等價轉化為證明，構造函數，利用導數分析函數在區間上的單調性，通過推導出來證得結論；

（2）構造函數，對實數分、、，利用導數分析函數的單調性，求出函數的最小值，再通過構造新函數，利用導數求出函數的最大值，可得出的最大值.

（1），，所以，函數單調遞增，

所以，當時，，此時，函數單調遞減；

當時，，此時，函數單調遞增.

要證，即證.

不妨設，則，，

下證，即證，

構造函數，

，所以，函數在區間上單調遞增，

，，即，即，

，且函數在區間上單調遞增，

所以，即，故結論成立；

（2）由恒成立，得恒成立，

令，則.

①當時，對任意的，，函數在上單調遞增，

當時，，不符合題意；

②當時，；

③當時，令，得，此時，函數單調遞增；

令，得，此時，函數單調遞減.

.

.

令，設，則.

當時，，此時函數單調遞增；

當時，，此時函數單調遞減.

所以，函數在處取得最大值，即.

因此，的最大值為.