Question

已知f（n）=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+…+

1

n3

，g（n）=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．
（1）當n=1，2，3時，試比較f（n）與g（n）的大小關系；
（2）猜想f（n）與g（n）的大小關系，并給出證明．．

Answer 1

分析：（1）根據已知f(n)=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

…+

1

n3

，g(n)=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．我們易得當n=1，2，3時，兩個函數函數值的大小，比較后，根據結論我們可以歸納推理得到猜想f（n）≤g（n）；
（2）但歸納推理的結論不一定正確，我們可用數學歸納法進行證明，先證明不等式f（n）≤g（n）當n=1時成立，再假設不等式f（n）≤g（n）當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）對于所有的正整數n成立；

解答：解：（1）當n=1時，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
當n=2時，f(2)=

9

8

，g(2)=

11

8

，
所以f（2）＜g（2）；
當n=3時，f(3)=

251

216

，g(3)=

312

216

，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用數學歸納法給出證明：
①當n=1，2，3時，不等式顯然成立．
②假設當n=k（k≥3）時不等式成立，
即1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+

1

k3

＜

3

2

-

1

2k2

，
那么，當n=k+1時，f(k+1)=f(k)+

1

(k+1)3

＜

3

2

-

1

2k2

+

1

(k+1)3

，
因為

1

2(k+1)2

-(

1

2k2

-

1

(k+1)3

)=

k+3

2(k+1)3

-

1

2k2

=

-3k-1

2(k+1)3k2

＜0，
所以f(k+1)＜

3

2

-

1

2(k+1)2

=g(k+1)．
由①、②可知，對一切n∈N^*，都有f（n）≤g（n）成立．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．