Question

設等比數列{a_n}首項a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項．
（1）求等差數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得等比數列{a_n}的公比q=2，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）易求得b_n=log₂a_n=n-1，于是數列{b_n}是首項為0，公差為1的等差數列，從而可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，又a₁=1，
則2q=1+q²-1，
∴q=2或q=0（舍去），
∴等比數列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=log₂a_n=log₂2^n-1=n-1，b_n+1-b_n=1，
∴數列{b_n}是首項為0，公差為1的等差數列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=0+1+2+…+n-1
=

(n-1)×n

2

=

1

2

n²-

1

2

n．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比數列與等差數列的通項公式與求和公式的應用，屬于中檔題．