Question

如圖，三棱柱的側(cè)棱平面，為等邊三角形，側(cè)面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn).

（1）若是棱中點(diǎn)時(shí)，求證：平面;
（2）當(dāng)時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

Answer 1

詳見解析

試題分析：（1） 取的中點(diǎn)為，連接 ,由題設(shè)可知，為的中點(diǎn)，易證,可證四邊形是平行四邊形，所以 ，依據(jù)正三棱柱的條件，易證 ， ,這樣和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，所以平面 ；
（2）,只要設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,那么根據(jù)第一問的結(jié)論，用可以表示與高,根據(jù)體積為，即可求出.
（1）取的中點(diǎn)為，連接,
 是的中點(diǎn), 是棱中點(diǎn),
∥,,,
則四邊形是平行四邊形，,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051646070544.png" style="vertical-align:middle;" />為正三角形，側(cè)面是正方形,

,所以,,
因?yàn)閭?cè)棱⊥平面，所以，
,，所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051646350591.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以平面. 6分
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為
由于E是的中點(diǎn)，△EAB的面積為定值。
∥平面，點(diǎn)F到平面的距離為定值
即為點(diǎn)C到平面平面的距離
又，且=
即 ，所以正方形的邊長(zhǎng)為6.       12分