Question

設函數f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1(t∈R，t>0).

(1)求f(x)的最小值s(t)；

(2)若s(t)<－2t＋m對于t∈(0,2)恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

(1)∵f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1＝t(x＋t)²－t³＋t－1(t∈R，t>0)，

∴當x＝－t時，f(x)取得最小值f(－t)＝－t³＋t－1，

即s(t)＝－t³＋t－1.

(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t³＋3t－1－m.

由h′(t)＝－3t²＋3＝0.

得t＝1或t＝－1(舍去)，則有

t	(0,1)	1	(1,2)
h′(t)	＋	0	－
h(t)		極大值

∴h(t)在(0,2)內有最大值1－m，

∴s(t)<－2t＋m對于t∈(0,2)恒成立等價于h(t)<0恒成立，即1－m<0，∴m>1.