Question

【題目】某電子設備工廠生產一種電子元件，質量控制工程師要在產品出廠前將次品檢出.估計這個廠生產的電子元件的次品率為0.2%，且電子元件是否為次品相互獨立，一般的檢測流程是：先把個電子元件串聯起來成組進行檢驗，若檢測通過，則全部為正品；若檢測不通過，則至少有一個次品，再逐一檢測，直到把所有的次品找出，若檢驗一個電子元件的花費為5分錢，檢驗一組（個）電子元件的花費為分錢.

（1）當時，估算一組待檢元件中有次品的概率；

（2）設每個電子元件檢測費用的期望為，求的表達式；

（3）試估計的值，使每個電子元件的檢測費用的期望最小.（提示：用進行估算）

Answer 1

【答案】（1）0.008；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出一組（4件）中無次品，即4件產品均正品得概率，再由可解.

（2）列出每組（個）電子元件的檢測費用的所有可能取值為，，列出的分布列，利用期望性質求出每個電子元件期望.

（3）利用，得到，用基本不等式求解最值.

（1）設事件：一組（4件）中有次品，則事件：一組（4件）中無次品，即4件產品均正品，

又4件產品是否為次品相互獨立，則，

所以.

（2）方法一：設每組（個）電子元件的檢測費用為，則的所有可能取值為，，

，，

則的分布列為

所以，

則有.

方法二：設每個電子元件的檢測費用為，則的取值為，，，，

則的分布列為

所以

（3），

，

當且僅當時取等號，此時為，

所以，估計當時，每個電子元件平均檢測費用最低，約為1.4分錢.