Question

已知函數（）．
（1）若，在上是單調增函數，求的取值范圍；
（2）若，求方程在上解的個數．

Answer 1

（1）．    
（2）當a≥3時，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．
當時，<0，∴g(x)＝0在上無解．

（1）然后分別研究時,恒成立且時,恒成立時b的取值范圍即可.
(2) 構造函數，即
分別研究和上的單調性,極值和最值.做出草圖，數形結合解決即可
（1）  …………………2分
①當時， ，．
由條件，得恒成立，即恒成立，∴．  ……………………4分
②當時，，．
由條件，得恒成立，即恒成立，∴b≥－2． 
綜合①，②得b的取值范圍是．              ……………6分
（2）令，即………………8分
當時，，．
∵，∴．則．
即，∴在（0，）上是遞增函數．………………………10分
當時，，．
∴在（，＋∞）上是遞增函數．
又因為函數在有意義，∴在（0，＋∞）上是遞增函數．………12分
∵，而，∴，則．∵a≥2，
∴ ， ……14分
當a≥3時，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．
當時，<0，∴g(x)＝0在上無解