Question

已知定點N（1，0），動點A、B分別在圖中拋物線y²=4x及橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的實線部分上運動，且AB∥x軸，則△NAB的周長L的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據拋物線方程和橢圓方程分別求得他們的準線方程，設出A，B的坐標，過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，根據拋物線和橢圓的定義求得|NA|=|AH|=x₁+1，|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

，進而表示出三角形周長，化簡整理后，求得周長L關于x₂的表達式，聯立拋物線和橢圓方程求得兩曲線的交點，判斷出x₂的范圍，進而確定L的范圍．

解答：解：依題意可知拋物線準線為x=-1
橢圓右準線為x=4
設A（x₁，y） B（x₂，y）
過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圓錐曲線第二定義
|NA|=|AH|=x₁+1
|NB|=|BI|•

1

2

=

4-x2

2

L=x₁+1+x₂-x₁+

4-x2

2

=

x2+6

2

聯立拋物線和橢圓方程求得x=

2

3

或-6（舍負）
∴

2

3

≤x₂≤2
∴

10

3

≤

x2+6

2

≤4
即L的取值范圍是（

10

3

，4）
故答案為（

10

3

，4）

點評：本題主要考查了橢圓和拋物線的應用．考查了學生轉化和化歸的思想，數形結合的思想．