Question

（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的參數方程為

x=sinα y=2cos2α-2

（α為參數），曲線D的極坐標方程為ρsin（θ-

π

4

）=-

3 2

2

．
（Ⅰ）將曲線C的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）判斷曲線C與曲線D的交點個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化余弦為正弦，利用代入法消掉正弦得答案；
（Ⅱ）化極坐標方程為直角坐標方程，聯(lián)立兩曲線方程后求解，由方程組的解判斷兩曲線的交點個數．

解答：解：（Ⅰ）由

x=sinα y=2cos2α-2

，得

x=sinα y=-2sin2α

，
消去參數α，得x2=-

y

2

，  x∈[-1，1]，
∴曲線C的普通方程為x2=-

y

2

，  x∈[-1，1]；
（Ⅱ）由ρsin(θ-

π

4

)=-

3 2

2

，得
ρsinθcos

π

4

-ρcosθsin

π

4

=-

3 2

2

，即

2

2

ρsinθ-

2

2

ρcosθ=-

3 2

2

．
化簡得，x-y-3=0．
∴曲線D的直角坐標方程為x-y-3=0．
由

x-y-3=0 x2=- y 2

，消去y，得2x²+x-3=0，
解得x=-

3

2

（舍）或x=1．
故曲線C與曲線D只有一個交點．

點評：本題考查了參數方程化普通方程，考查了極坐標方程化直角坐標方程，訓練了聯(lián)立方程組判斷直線與圓錐曲線的關系，是基礎題．