Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有 ＞0成立．
（Ⅰ）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調性，并證明；
（Ⅱ）解不等式：f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）；
（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1對所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，則﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）為奇函數，

∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）= （x1﹣x2），

由已知得 ＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．

（Ⅱ）∵f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，∴

∴不等式的解集為 ．

（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．∴在[﹣1，1]上，f（x）≤1．

問題轉化為m2﹣2am+1≥1，即m2﹣2am≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．

下面來求m的取值范圍．設g（a）=﹣2ma+m2≥0．

①若m=0，則g（a）=0≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．

②若m≠0，則g（a）為a的一次函數，若g（a）≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立，

必須g（﹣1）≥0且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．

綜上，m=0 或m≤﹣2或m≥2

【解析】1、由題意可得，根據證明函數單調性的定義。任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，判斷f（x1）﹣f（x2）的正負即得結果。
2、由題意可得f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）可得， 2x-1, 1-3x[﹣1，1], 2x-1>1-3x。求以上不等式的交集。
3、由（2）可知函數f（x）單調遞增即有f(x)f(1)=1故f(x)可表示為，對a∈[﹣1，1]恒成立。令g（a）=﹣2ma+m2 ， 若m=0，則g（a）=0對a∈[﹣1，1]恒成立；若m≠0，則g（a）為a的一次函數，根據函數在定義域[﹣1，1]上的最小值大于0，可求得m的取值范圍。