Question

函數y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用對數函數的單調性和特殊點，根據x＞2時，|log_ax|＞1 恒成立，分0＜a＜1 和a＞1兩種情況，分別求出實數a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：由題意，y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，
∴對底數a分兩種情況討論，即0＜a＜1與a＞1．
①當0＜a＜1時，函數y=log_ax在（2，+∞）上單調遞減，
∴y=log_ax＜log_a1=0，則函數y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，等價于函數y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有y＜-1，
∵y=log_ax＜log_a2，
∴log_a2≤-1=log_aa^-1，解得，a≥

1

2

，
∴a的取值范圍為

1

2

≤a＜1；
②當a＞1時，函數y=log_ax在（2，+∞）上單調遞增，
∴y=log_ax＞log_a1=0，則函數y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，等價于函數y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有y＞1，
∵y=log_ax＞log_a2，
∴log_a2≥1=log_aa，解得，a≤2，
∴a的取值范圍1＜a≤2；
綜合①②可得，a的取值范圍為

1

2

≤a＜1或1＜a≤2．

點評：本題考查了對數函數的性質與絕對值不等式的解法，當對數的底數是參數時，一般需要對參數的范圍時進行分類討論．解決此類問題的關鍵是熟練掌握絕對值不等式與指數不等式、對數不等式的解答方法，即熟練掌握指數函數與對數函數的有關性質．此題綜合考查了恒成立問題與分類討論的數學思想．屬于中檔題．