Question

由y=f（x）確定數列{a_n}：a_n=f（n）．若y=f（x）的反函數y=f^-1（x）能確定數列{b_n}：b_n=f^-1（n），則稱{b_n}是{a_n}的“反數列”．
（1）若f(x)=2

x

確定的數列{a_n}的反數列為{b_n}，求b_n．
（2）對（1）中{b_n}，記Tn=

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

，若Tn＞

1

2

loga(1-2a)對n∈N^*恒成立，求實數a的取值范圍．
（3）設cn=

1+(-1)λ

2

•3n+

1-(-1)λ

2

•(2n-1)（λ為正整數），若數列{c_n}的反數列為{d_n}，且{c_n}與{d_n}的公共項組成的數列為{t_n}（公共項t_k=c_p=d_q，其中k，p，q為正整數），求數列{t_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）f(x)=2

x

的反函數為f-1(x)=

1

4

x2(x≥0)，由此能求出bn=

1

4

n2(n∈N*)．
（2）由

1 bk

=

2

k

(k∈N*)，知Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1=

2

n+2

+…+

2

2n

+

2

2n+1

+

2

2n+2

Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2n+2

-

2

n+1

＞

2

2n+2

+

2

2n+2

-

2

n+1

=0，由此能求出實數a的取值范圍．
（3）當λ為偶數時f(x)=

1+(-1)λ

2

•3x+

1-(-1)λ

2

•(2x-1)=3x，f-1(x)=log3x，{c_n}的項都是{d_n}的項，故tn=cn=3n，Sn=

3

2

(3n-1)(n∈N*)；當λ為奇數時，{c_n}的項都是{d_n}的項，故t_n=c_n=2n-1，S_n=n²（n∈N^*）．

解答：解：（1）f(x)=2

x

的反函數為f-1(x)=

1

4

x2(x≥0)，
故bn=

1

4

n2(n∈N*)．
（2）由（1）的結果知

1 bk

=

2

k

(k∈N*)，
故Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
Tn+1=

2

n+2

+…+

2

2n

+

2

2n+1

+

2

2n+2

，
Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2n+2

-

2

n+1

＞

2

2n+2

+

2

2n+2

-

2

n+1

=0，
即{T_n}單調增，
從而Tn＞

1

2

loga(1-2a)對n∈N^*恒成立等價于

1

2

loga(1-2a)＜T1=1，
化為log_a（1-2a）＜2，
由1-2a＞0知a＜

1

2

，
故log_a（1-2a）＜2等價于1-2a＞2a²，
結合a＞0，
解得0＜a＜

2

-1．
（3）分兩種情形．
1⁰當λ為偶數時f(x)=

1+(-1)λ

2

•3x+

1-(-1)λ

2

•(2x-1)=3x，f-1(x)=log3x，
故c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，
令c_p=d_q，得3p=log3q⇒q=33p(p∈N*)，
即{c_n}的項都是{d_n}的項，
故tn=cn=3n，Sn=

3

2

(3n-1)(n∈N*)．
2⁰當λ為奇數時f(x)=

1+(-1)λ

2

•3x+

1-(-1)λ

2

•(2x-1)=2x-1，f-1(x)=

x

2

+1，
故cn=2n-1，dn=

n

2

+1，
令c_p=d_q，得2p-1=

q

2

+1⇒q=4p-3(p∈N*)，
即{c_n}的項都是{d_n}的項，
故t_n=c_n=2n-1，S_n=n²（n∈N^*）．

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意分類討論思想的合理運用．