Question

【題目】已知拋物線：，圓：，直線：與拋物線相切于點，且與圓相切于點.

（1）當，時，求直線方程與拋物線的方程；

（2）設為拋物線的焦點，，的面積分別為，，當取得最大值時，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據直線與都相切,列出對應方程,求解即可;

(2)聯立,求得,故消,求得,再聯立直線與圓方程,求出點,從而可以求出,再分別求,利用基本不等式化簡,則可求出當取得最大值時,實數的值.

(1)由題設可知,:,且,

由與圓相切,可知圓心到直線的距離,解得,

所以直線方程為:,

由,令,解得,

所以拋物線的方程為:.

(2)聯立,可得,

令,即,解得,即,

此時切點,

又直線和圓相切,可得,

故聯立直線與圓方程,

解得,,即,

,

又到的距離,

即有,

,

可得(當且僅當取等號),

此時.