Question

設n為正整數，規定：fn(x)=

f{f[…f(x)…]}

n個f

，已知f(x)=

2(1-x) x-1

， ，

(0≤x≤1) (1＜x≤2)

．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）設集合A={0，1，2}，對任意x∈A，證明：f₃（x）=x；
（3）探求f2009(

8

9

)；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，證明：B中至少包含有8個元素．

Answer 1

分析：（1）因為f(x)=

2(1-x) x-1

， ，

(0≤x≤1) (1＜x≤2)

是分段函數，所以先根據定義域選擇解析式來構造不等式，當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x求解；當1＜x≤2時，由x-1≤x求解，取后兩個結果取并集．
（2）先求得f（0），f（1），f（2），再分別求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再觀察與自變量是否相等即可．
（3）看問題有2008重求值，一定用到周期性，所以先求出 f1(

8

9

)=2(1-

8

9

)=

2

9

，f2(

8

9

)=f(f(

8

9

))=f(

2

9

)=

14

9

，f3(

8

9

)=f(f2(

8

9

))=f(

14

9

)=

14

9

-1=

5

9

，f4(

8

9

)=f(f3(

8

9

))=f(

5

9

)=2(1-

5

9

)=

8

9

，觀察是以4為周期，有 f4k+r(

8

9

)=fr(

8

9

)（k，r∈N）求解
（4）由（1）可得

2

3

∈B、由（2）可得0、1、2∈B、由（3）可得

8

9

、

2

9

、

14

9

、

5

9

∈B，進而可證得結論．

解答：解：（1）①當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x得，x≥

2

3

．
∴

2

3

≤x≤1．
②當1＜x≤2時，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集為{x|

2

3

≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴當x=0時，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
當x=1時，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
當x=2時，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即對任意x∈A，恒有f₃（x）=x．
（3）f1(

8

9

)=2(1-

8

9

)=

2

9

，
f2(

8

9

)=f(f(

8

9

))=f(

2

9

)=

14

9

，
f3(

8

9

)=f(f2(

8

9

))=f(

14

9

)=

14

9

-1=

5

9

，
f4(

8

9

)=f(f3(

8

9

))=f(

5

9

)=2(1-

5

9

)=

8

9

，
一般地，f4k+r(

8

9

)=fr(

8

9

)（k，r∈N）．
∴f2008(

8

9

)=f0(

8

9

)=

8

9

（4）由（1）知，f（

2

3

）=

2

3

，∴f_n（

2

3

）=

2

3

，則f₁₂（

2

3

）=

2

3

，∴

2

3

∈B．
由（2）知，對x=0、1、2，恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=x，則0、1、2∈B．
由（3）知，對x=

8

9

、

2

9

、

14

9

、

5

9

，恒有f12（x）=x，∴

8

9

、

2

9

、

14

9

、

5

9

∈B．
綜上所述

2

3

、0、1、2、

8

9

、

2

9

、

14

9

、

5

9

∈B．
∴B中至少含有8個元素．

點評：本題考查的知識點是分段函數及分段不等式的解法，元素與集合關系的判定，函數的周期性，函數恒成立問題，分段函數問題要注意分類討論，還考查了分段函數多重求值，要注意從內到外，根據自變量取值選擇好解析式．