Question

【題目】設函數.

（1）求的極值；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）函數的極小值為，無極大值；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用導數對函數的單調性進行分析，可得當時，取得極小值，且極小值為，無極大值．（2）方法一：將不等式變形為，然后構造函數，通過分析判斷函數的單調性進行證明即可．方法二：令，則由可得單調遞增，故得，然后再證明即可．

（1）因為，

所以，

因為，

所以在上單調遞增，

又，

所以當，單調遞減；當，單調遞增．

所以當時，取得極小值，且極小值為，無極大值．

（2）法一：的定義域為，

要證，

只需證，

只需證．

令，

則 ，

因為，

所以當時，單調遞減；當時，單調遞增．

所以，即，

故當時，.

法二：令，

當時，，

要證，

只需證，

令，

則，

當時，單調遞減；當時，單調遞增．

所以，即，

所以．

故當時，．

法三：的定義域為．

令，

因為，由得；由，得；

所以在上單調遞減，上單調遞增，

所以，即．

要證

只需證，

只需證，

只需證．

令，

則，

因為，

所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，

所以，即.

故時，.