Question

（2013•奉賢區二模）已知函數f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），且a²=b²+1，則不等式f（x）＞0的解集是

（2，+∞）

．

Answer 1

分析：令u（x）=a^x-b^x，利用定義判斷u（x）在x∈（0，+∞）上單調增，從而得到f（x）在x∈（0，+∞）上單調增，由a²=b²+1，可得f（2）=lg（a²-b²）=lg1=0，進而得到f（x）＞0=f（2）．

解答：解：由題意可得：令u（x）=a^x-b^x，不等式即 lgu（x）＞0，
∵a＞1＞b＞0，
所以u（x）在實數集上是個增函數，且u（x）＞0，
又因為u（0）=0，
所以應有 x＞0，
∴u（x）在定義域（0，+∞）上單調增，
∴f（x）=lg（a^x-b^x）在x∈（0，+∞）上單調增．
又因為a²=b²+1，
所以f（2）=lg（a²-b²）=lg1=0，
所以f（x）＞0=f（2）
所以（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點評：本題考查指數函數、對數函數的單調性與特殊點，由真數u（x）的單調性確定f（x）的單調性，利用特殊點lg1=0．