Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，由已知，根據正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即 a2=b2+c2+bc． 由余弦定理得

a2=b2+c2﹣2bccosA，故 cosA=﹣ ，∴A=120°

（2）解：由（1）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）= cosB+ sinB=sin（B+60°）．

因為 0°＜B＜60°，所以，60°＜B+60°＜120，∴ ＜sin（B+60°）≤1，

故 sinB+sinC的取值范圍是 （ ，1]

【解析】（1）△ABC中，由已知，根據正弦定理得 a2=b2+c2+bc，再由余弦定理求得cosA=﹣ ，A=120°．（2）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sin（B+60°），根據60°＜B+60°＜120，求得 ＜sin（B+60°）≤1，從而求得sinB+sinC的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的正弦公式：，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．