Question

（滿分12分）設(shè)底面邊長為的正四棱柱中，與平面 所成角為；點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．

（1）求證：正四棱柱是正方體；
（2）若點(diǎn)在棱上滑動(dòng)，求點(diǎn)到平面距離的最大值；
（3）在（2）的條件下，求二面角的大小．

Answer 1

（1）．證明：見解析；（２）點(diǎn)到平面的最大距離是；（３）.

本試題主要考查了立體幾何中正方體概念，和點(diǎn)到面的距離的最值和二面角的求解和運(yùn)算的綜合試題。
（1）利用正四棱柱的性質(zhì)，加上題目中的邊的關(guān)系，結(jié)合概念得到。
（2）對于點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵是找到平面的垂線，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到點(diǎn)到面的距離的表示，從而求解最值。
（3）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)出法向量來表示二面角的平面角的大小來解決。
（1）．證明：設(shè)正四棱柱的側(cè)棱長為，作與,連接,
，,,
是與所成的角，
，即
所以四棱柱正四棱柱是正方體；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4＇
（２）．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，平面，點(diǎn)、到平面的距離相等為．在四面體中，體積，

，設(shè)是中點(diǎn)，當(dāng)也是棱中點(diǎn)時(shí)，，有平面，于，于，是一面直線和的公垂線段，是到直線的最短距離，的最小值是
，即點(diǎn)到平面的最大距離是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8＇
（３）．以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立平面直角坐標(biāo)系，由（２）知也是棱中點(diǎn)，則、、、，設(shè)平面的法向量，平面的法向量由
；
。

面角的大小是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２＇