Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

夾角為

3

4

π，且

m

•

n

=-1，
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos²

c

2

），其中A、C為△ABC的內角，且A、B、C依次成等差數列，試求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出向量

n

；通過向量的夾角與數量積的公式，求出夾角的余弦值，列出方程求出向量

n

（2）利用向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos²

c

2

），結合三角形的內角和，A、B、C依次成等差數列，求出B，C與A的關系，利用二倍角與兩角和與差的三角函數化簡|

n

+

p

|的表達式，根據角的范圍求出表達式的取值范圍．

解答：解：（1）設

n

=（x，y）
則由＜

m

，

n

＞=

3

4

π得：cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

x+y

2 • x2+y2

=-

2

2

①
由

m

•

n

=-1得x+y=-1  ②
聯立①②兩式得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

∴

n

=（0，-1）或（-1，0）
（2）∵＜

n

，

q

＞=

π

2

得

n

•

q

=0
若

n

=（1，0）則

n

•

q

=-1≠0
故

n

≠（-1，0）∴

n

=（0，-1）
∵2B=A+C，A+B+C=π
⇒B=

π

3

∴C=

2π

3

-A

n

+

p

=（cosA，2cos²

c

2

-1）
=（cosA，cosC）
∴|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1+cos2A 2 + 1+cos2C 2

=

cos2A+cos2C 2 +1

=

cos2A+cos( 4π 3 -2A) 2 +1

=

cos2A- cos2A 2 - 3 2 sin2A 2 +1

=

1 2 cos2A- 3 2 sin2A 2 +1

=

cos(2A+ π 3 ) 2 +1

∵0＜A＜

2π

3

∴0＜2A＜

4π

3

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

∴-1≤cos（2A+

π

3

）＜

1

2

∴|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

）

點評：本題考查向量的數量積的應用，三角函數的化簡求值，以及函數值的范圍的確定，考查計算能力，轉化思想．