Question

已知半徑為6的圓C與x軸相切，圓心C在直線3x+y=0上且在第二象限，直線l過點P（2，14）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C相交于A、B兩點且|AB|=4

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設圓心，利用圓C與x軸相切則圓心到直線的距離等于半徑建立等式，即可求出圓心，從而求出所求；
（II）設l的方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，利用弦長的一半、半徑和圓心到直線的距離構成直角三角形，建立等式，從而可求出直線方程．

解答：解：（I）由題意，設圓心C（m，-3m）（m＜0）圓C的半徑r=6，
又圓C和x軸相切，則r=6=|-3m|
即m=±2，所以m=-2，所以圓C的方程為（x+2）²+（y-6）²=36
（II）設l方程為y-14=k（x-2），由d=

|4k-8|

k2+1

=

62-(2 5 )2

=4
∴k=

3

4

又l方程為x=2時也符合題意，故所求直線方程l的方程為x=2或3x-4y+50=0

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及圓的方程和直線方程，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．