Question

【題目】已知函數,.

（Ⅰ）若是函數的一個極值點，求實數的值及在內的最小值；

（Ⅱ）當時，求證：函數存在唯一的極小值點，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知條件的導函數，以及，從而求出實數的值，利用導數求出函數在內的單調性，從而得到在內的最小值

（Ⅱ）由題可得,令，要證函數存在唯一的極小值點，即證只有唯一根，利用導數求出的單調區間與值域即可，且由零點定理可知，由，可得，代入中，利用導數求出在內的最值即可證明。

（Ⅰ）由題可得：，則，

是函數的一個極值點，

，即，解得：，經檢驗，當時，是函數的一個極值點；

；

當時，，令，解得：或，

當時，、的變化如下表：

所以當時，有最小值，

（Ⅱ）當時，，

令，，則，

由于恒成立，所以恒大于零，則在上單調遞增，

由于，，根據零點定理，可得存在唯一的，使得，

令，解得：，，當或時，，即的單調增區間為，，當時，，即的單調減區間為，

函數存在唯一的極小值點，且，，則；

，

則，令，解得：或，

當時，，則在上單調遞減，則，，所以