Question

已知f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
(1)當b＝2時，求f(x)的值域；
(2)若b為正實數，f(x)的最大值為M，最小值為m，且滿足M－m≥4，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）2 －3，0]（2）[10，＋∞)

(1)當b＝2時，f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
因為f(x)在[1，]上單調遞減，在[，2]上單調遞增，
所以f(x)的最小值為f()＝2 －3.
又f(1)＝f(2)＝0，
所以f(x)的值域為[2 －3，0]．
(2)①當0＜b＜2時，f(x)在[1，2]上單調遞增，
則m＝b－2，M＝－1，此時M－m＝－＋1≥4，得b≤－6，與0＜b＜2矛盾，舍去；
②當2≤b＜4時，f(x)在[1，]上單調遞減，在[，2]上單調遞增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f()＝2 －3，則M－m＝b－2 ＋1≥4，得(－1)²≥4，解得b≥9，與2≤b＜4矛盾，舍去；
③當b≥4時，f(x)在[1，2]上單調遞減，則M＝b－2，m＝－1，此時M－m＝－1≥4，得b≥10.綜上所述，b的取值范圍是[10，＋∞)．