Question

【題目】已知函數，若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的“局部對稱點”.

（1），其中，試判斷是否有“局部對稱點”？若有，請求出該點；若沒有，請說明理由；

（2）若函數在區間內有“局部對稱點”，求實數m的取值范圍；

（3）若函數在R上有“局部對稱點”，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）有，理由見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據“局部對稱點”的概念，列出方程，求解函數的 “局部對稱點”；

（2）根據題意，則列方程，使方程有解，運用換元法，設，則，求解的范圍，即可求解的范圍.

（3）根據題意，列出方程，并且轉化方程為，運用換元法，令，則，轉化為關于的一元二次方程，在區間內有解的問題，限定條件，即可求解.

（1）知

由于，故，

當時有，即為“局部對稱點”.

（2）方程在區間上有解，于是

設（），，則，其中

所以

（3），

由于，所以

于是（*）在R上有解；

令（），則，所以方程（*）變為在區間內有解；

設，可分為以下兩種情形：

當時，有，化簡得

解得；

②當時，有，化簡得

解得

綜上所述，