Question

設虛數z₁,z₂，滿足.
(1)若z₁,z₂又是一個實系數一元二次方程的兩根，求z₁, z₂。
(2)若z₁=1+mi(i為虛數單位，m∈R), ,復數w=z₂+3,求|w|的取值范圍。

Answer 1

(1)  或  。
(2) .

(1)∵z₁, z₂是一個實系數一元二次方程的兩個虛根，因此必共軛，
可設z₁=a+bi(a,b∈R且b≠0),則z₂=a－bi,
由 得(a+bi)²=a－bi
即： a²－b²+2abi=a－bi
根據復數相等，
∵b≠0 解得：  或  ，
∴  或  。
(2)由于 ，z₁=1+mi, w=z₂+3, 
∴w=(1+mi)²+3=4－m²+2mi.
∴ ,
由于且m≠0, 可解得0<m²≤1, 令m²="u," ,
在u∈(0,1)上，(u－2)²+12是減函數，∴.
復數這一章中去掉了三角形式,降低了難度，但在復數的基本概念、運算、復數與方程、復數與幾何這些部分仍然有許多可考查的內容，并且還可以與其它的數學知識相結合。