Question

【題目】函數.

（I）函數在點處的切線與直線垂直，求a的值；

（II）討論函數的單調性；

（III）不等式在區間上恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）（II）當時，函數f(x)在區間上是單調遞增；

當時，函數f(x)在區間上單調遞增；在區間上單調遞減；在區間上單調遞增（III）．

【解析】試題分析：（I）求導，利用導數的幾何意義與兩直線垂直的判定進行求解；（II）求導，討論二次方程的根的個數、根的大小關系，進而判定其單調性；（III）分離常數，轉化為求函數的求值問題.

試題解析：（I）函數定義域為

由題意 ，解得.

（II）

（i）當 時，，函數f(x) 在 上單調遞增；

（ii）當 時，函數f(x)在區間上單調遞增；在區間上單調遞減；在區間上單調遞增

（iii）當 時，，函數f(x) 在 上單調遞增；

綜上所述：當時，函數f(x)在區間上是單調遞增；

當時，函數f(x)在區間上單調遞增；在區間上單調遞減；在區間上單調遞增

（III）等價于

令

在區間(0,1)上，函數g(x)為減函數；

在區間上，函數g(x)為增函數；

所以實數的范圍是．