Question

【題目】（文科選做）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是_____。

（理科選做）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________．

Answer 1

【答案】

【解析】（文科選做）如下圖所示：

取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，連接BC1，

∵M、N、E、F為所在棱的中點，

∴MN∥BC1，EF∥BC1，

∴MN∥EF，

又MN平面AEF，EF平面AEF，

∴MN∥平面AEF；

∵AA1∥NE，AA1=NE，

∴四邊形AENA1為平行四邊形，

∴A1N∥AE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，

∴A1N∥平面AEF，

又A1N∩MN=N，

∴平面A1MN∥平面AEF，

∵P是側面BCC1B1內一點，且A1P∥平面AEF，

∴點P必在線段MN上。

在Rt△A1B1M中， ，

同理在Rt△A1B1N中，可求得，

∴△A1MN為等腰三角形，

當P在MN中點O時A1P⊥MN，此時A1P最短，P位于M或N處時A1P最長，

又.

所以線段A1P長度的取值范圍是．答案： 。