Question

下列命題中
①對于每一個實數x，f（x）是y=2-x²和y=x這兩個函數中的較小者，則f（x）的最大值是1．
②已知x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，則x₁+x₂=3．
③函數f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數，其定義域為[a-1，2a]，則f（x）的圖象是以（0，1）為頂點，開口向下的拋物線．
④若集合P={x|x=3m+1，m∈N⁺}，Q={x|x=5n+2，n∈N⁺}，則P∩Q={x|x=15m-8，m∈N⁺}
⑤若函數f（x）在（-∞，+∞）上遞增，且a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正確的命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①確定出x為何值時取最大值，求出最大值．②得出第一個方程：lgx=3-x． 第二個方程，lg（3-x）=x．y=3-x，得出為同一方程，推出x₁+x₂=3．
③通過函數為偶函數求出a，b的值，確定出解析式和開口方向．④要滿足3m+1=5n+2，m=，要使m，n都為整數，當且僅當n=3k-2∈N時，才滿足m=5k-3∈N，代入求出x的值．⑤若函數f（x）在（-∞，+∞）上遞增，且a+b≥0，則f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），得出結論成立．
解答：解：①當y=2-x²和y=x相交時，直線取最大值，此時x=1，最大值為1，正確；
②第一個方程：lgx=3-x． 第二個方程，lg（3-x）=x．
注意第二個方程
如果做變量代換y=3-x，則lgy=3-x，
其實是與第一個方程一樣的．  那么，如果x₁，x₂是兩個方程的解，則必有x₁=3-x₂，即x₁+x₂=3，正確．
③若函數為偶函數，則應滿足，解得 a=，b=0，f（x）=x²+1，開口向下，③錯誤．
④若x屬于P∩Q，則必有x=3m+1，m∈N，x=5n+2，n∈N
即 要滿足3m+1=5n+2  且m，n∈N
m=
當且僅當n=3k-2∈N時，才滿足m=5k-3∈N   （k∈N*）
此時將m=5k-3代入x=3m+1，得x=15k-8
即可知3m+1=5n+2=15k-8=x
x為P∩Q元素，正確．
⑤若函數f（x）在（-∞，+∞）上遞增，且a+b≥0，則f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），故f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．正確．
故答案為：①②④⑤．
點評：本題考查了函數的最值及幾何意義，函數的單調性，偶函數的性質，交集，判斷命題真假等知識點，屬于綜合性德題目，對學生的能力要求比較高．