Question

在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線：相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若圓O上有兩點M、N關于直線x+2y=0對稱，且，求直線MN的方程；
（3）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）半徑r==2，故圓O的方程為 x²+y²=4．
（2）∵圓O上有兩點M、N關于直線x+2y=0對稱，
故MN的斜率等于直線x+2y=0斜率的負倒數2，
設MN的方程為y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
由弦長公式可得，
圓心O到直線MN的距離等于=1．
由點到直線的距離公式可得 1=，b=±，
故MN的方程為2x﹣y±=0．
（3）圓O與x軸相交于A（﹣2，0）、B（2，0）兩點，
圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，
∴|PA||PB|=|PO|²=4．
由于∠APB的取值范圍是[0，π]，
∴﹣|PA||PB|≤≤|PA||PB|，﹣4≤≤4，
即的取值范圍[﹣4，4]．