Question

已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求的最小值。

Answer 1

【錯解分析】=a²+b²+++4
≥2ab++4
≥4+4=8,
∴(a+)²+(b+)²的最小值是8.
上面的解答中，兩次用到了基本不等式a²+b²≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。
【正解】原式= a²+b²+++4
="(" a²+b²)+(+)+4
=[(a+b)²－2ab]+[(+)²－]+4
= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()²= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)，
∴(a + )² + (b + )²的最小值是。
【點評】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內。