Question

（本小題滿分14分）

設函數（），其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的極大值和極小值；

（Ⅲ）當時，是否存在函數圖像上兩點以及函數圖像上兩點，使得以這四點為頂點的四邊形ABCD滿足如下條件：1四邊形ABCD是平行四邊形；2軸；3。若存在，指出四邊形ABCD的個數；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）當時，，得，且，．

所以，曲線在點處的切線方程是，

整理得．

（Ⅱ）解：，．

令，解得或．  

由于，以下分兩種情況討論．

（1）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且；

函數在處取得極大值，且．

（2）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且；

函數在處取得極大值，且．

（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，則方程至少有兩個相異實根，且每個實根對應一條垂直于x軸且與圖像均相交的的線段，這些線段長度均相等。

，

1時，，令，

   令，得或

由表格知，為的極大值，為的極大值，而  ，故的圖像與x軸有且只有一個交點，有且只有一個零點。

2時，，令，，

由1知為的極大值，為的極大值，而  ，故的圖像與x軸有三個交點，有三個零點。

由12知，方程有四個不同的實根，從小到大依次記為，這四個根對應的四條線段中的每兩條對應一個平行四邊形ABCD，共有6個，所以滿足題意的平行四邊形ABCD有6個。