Question

【題目】如圖所示，三棱錐P﹣ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為 ．

Answer 1

【答案】13π
【解析】解：由題意，PA2+PB2=AB2 ， 因為 ，∴AD⊥面DEC， ∵ADPAB，ADABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，
在CD上取點O1 ， 使O1為等邊三角形ABC的中心，
∵D為△PAB斜邊中點，∴在△DEC中，過D作直線與DE垂直，過O1作直線與DC垂直，兩條垂線交于點O，則O為球心．
∵∠EDC=90°，∴ ，
又∵ ，∴OO1= ，三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑R= ，
三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為4πR2=13π，
所以答案是：13π．

【考點精析】利用球內接多面體對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．