Question

已知雙曲線的離心率e=2，F₁、F₂為兩焦點，M為雙曲線上一點，若∠F₁MF₂=60°，且S△MF1F 2=12

3

．求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：當焦點在x軸上時，設方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）根據其離心率為2，知a，b，c的關系式．再由∠F₁MF₂=60°，且△MF₁F₂的面積為12

3

．即可求得a值．由此能導出雙曲線的方程．

解答：解：如圖，當焦點在x軸上時，設方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵e=2⇒b=

3

a， c=2a
由∠F₁MF₂=60°
⇒|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cos60°
⇒16a²=（|MF₁|-|MF₂|）²+|MF₁|•|MF₂|
⇒16a²=4a²+|MF₁|•|MF₂|
⇒|MF₁|•|MF₂|=12a²
且S△MF1F 2=12

3

，
∴

1

2

|MF₁|•|MF₂|sin60°=12

3

，
∴

1

2

×12a²×

3

2

=12

3

，⇒a=2，
∴b=

3

a=2

3

．
此時雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
當焦點在y軸上時，方程為：

y2

4

-

x2

12

=1．

點評：本小題主要考查雙曲線、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，考查化歸與轉化、數形結合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．