Question

【題目】已知函數f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(x)定義域為R，求a的取值范圍；

(2)若f(1)＝1，求f(x)的單調區間；

(3)是否存在實數a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）單調遞增區間是，單調遞減區間是； （3）.

【解析】

(1)因為f(x)的定義域為R，所以ax2＋2x＋3＞0對任意x∈R恒成立．

顯然a＝0時不合題意，從而必有 解之即可.

(2)由f(1)＝1，可得f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．求出定義域，利用復合函數單調性判斷f(x)的單調區間；

(3) 假設存在實數a使f(x)的最小值為0，則h(x)＝ax2＋2x＋3應有最小值1，由此可求a的值.

(1)因為f(x)的定義域為R，所以ax2＋2x＋3＞0對任意x∈R恒成立．

顯然a＝0時不合題意，從而必有即

解得a＞.

即a的取值范圍是.

(2)因為f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，這時f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函數定義域為(－1,3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3,則g(x)在(－1,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減．又y＝log4x在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)的單調遞增區間是(－1,1)，單調遞減區間是(1,3)．

(3)假設存在實數a使f(x)的最小值為0，則h(x)＝ax2＋2x＋3應有最小值1，

因此應有解得a＝.

故存在實數a＝使f(x)的最小值為0.