Question

（本小題滿分14分）

設函數，其中．

( I )若函數圖象恒過定點P，且點P在的圖象上，求m的值；

(Ⅱ)當時，設，討論的單調性；

(Ⅲ)在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，

使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）時，在上為增函數，

時，在上為增函數，在為減函數（3）如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）令，則，即函數的圖象恒過定點

則

（Ⅱ），定義域為，

=

=

，則

當時，

此時在上單調遞增，

當時，由得

由得，

此時在上為增函數，

在為減函數，

綜上當時，在上為增函數，

時，在上為增函數，在為減函數，

（Ⅲ）由條件（Ⅰ）知

假設曲線上存在兩點、滿足題意，則、兩點只能在軸兩側

設，則

是以為直角頂點的直角三角形，

①

（1）當時，

此時方程①為，化簡得.

此方程無解，滿足條件的、兩點不存在.

（2）當時，，方程①為

即

設，則

顯然當時即在上為增函數，

的值域為，即，

綜上所述，如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是.

考點：本試題考查了導數的運用。

點評：解決該試題的關鍵是利用圖像過定點得到參數的值，進而求解得到解析式。同時利用導數的符號判定函數單調性，同時要注意對于含有參數的函數進行分類討論得到結論。二對于不等式的證明，一般利用構造函數，運用導數求解最值，得到參數的范圍，屬于中檔題。